وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته
Merawat anak kecil yang mau dibuang sebagaimana yang diceritakan adalah termasuk kebaikan dan ihsan. Namun tidak boleh mensabkan si anak kepada anda sebab hukum asalnya anak hasil zina dinasabkan kepada ibunya bila si wanita belum bersuami. Silahkan lihat jawaban kami sebelumnya di link ini
Silahkan melihat juga jawaban kami sebelumnya terkait tidak bolehnya menasabkan anak ke orang yang mengadopsinya di link ini
Silahkan anda mengaqiqahi anak tersebut bila anda sudah mendapatkan izin dari ibunya untuk mengaqiqahi atau izin umum untuk mengurusnya dan mengarahkannya sebaik mungkin.
Apabila di masa mendatang pengurusan surat-surat anak tidak bisa bila anak dinisbatkan ke ibunya maka si anak bisa dinisbatkan ke hamba Allah yang bersifat umum seperti fulan bin Abdullah atau fulan bin Abdurrahman atau yang semisalnya.
Wallahu ta'ala a'lam